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    title: [概率论],
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    author: [数学主义],
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= 回顾

#figure(
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    columns: 2,
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    table.header([现实世界(概率统计)], [数学模型(测度论)],),
    table.hline(),
    [随机试验], [检查可测函数],
    [样本空间], [集合$Omega$],
    [样本点], [$Omega$的一个元素],
    [事件], [$Omega$的可测子集],
    [事件域], [$Omega$上的一个$sigma$代数$cal(F)$],
    [概率], [定义在$( Omega , cal(F) )$上的一个测度$P$,
    使得$P( Omega ) = 1$],
    [随机变量], [一个可测函数$X : Omega arrow.r bb(R)$],
  )]
  , kind: table
  )

== 例子

=== 三门问题

- 三扇门：有三扇关闭的门，其中一扇后面是一辆汽车，另外两扇后面各是一只山羊。

- 选手选择：你选择了一扇门，但还没打开。

- 主持人打开：主持人知道每扇门后面是什么，他会打开剩下两扇门中的一扇，并且一定是一扇后面是山羊的门。

- 是否换门：主持人问你，是否要换到另一扇仍然关闭的门。

---

#figure(
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    table.header([概率统计], [现实世界], [数学模型], [测度论],),
    table.hline(),
    [随机试验], [打开一扇门], [检查$X \( i \)$的值], [检查可测函数],
    [样本空间], [三扇门], [$Omega = { 1 \, 2 \, 3 }$], [集合$Omega$],
    [样本点], [一扇门], [$i in Omega$], [$Omega$的一个元素],
    [随机变量], [门后是汽车或山羊,
    恰有一扇门的后面是汽车], [$X : Omega arrow.r bb(R)$,
    像为${ 0 \, 1 }$, 约定$0$表示山羊, $1$表示汽车,
    那么恰有一个$i in Omega$满足$X \( i \) = 1$], [一个可测函数$X : Omega arrow.r bb(R)$],
  )]
  , kind: table
  )

---

#figure(
  align(center)[#table(
    columns: 4,
    align: (center,center,center,center,),
    table.header([概率统计], [现实世界], [数学模型], [测度论],),
    table.hline(),
    [样本空间], [三扇门], [$Omega = { 1 \, 2 \, 3 }$], [集合$Omega$],
    [事件], [你选择一扇门], [不妨记为$A_1 = { 1 }$], [$Omega$的可测子集],
    [], [第$i$扇门的后面是汽车], [$X \( i \) = 1$], [],
    [试验], [主持人打开另一扇门, 门后是山羊], [不妨设这扇门对应$2 in Omega$,
    那么$X \( 2 \) = 0$], [],
    [事件], [汽车还可能在其后的那些门], [$B = { 1 \, 3 }$], [$Omega$的可测子集],
  )]
  , kind: table
  )

---

#figure(
  align(center)[#table(
    columns: 4,
    align: (center,center,center,center,),
    table.header([概率统计], [现实世界], [数学模型], [测度论],),
    table.hline(),
    [样本空间], [三扇门], [$Omega = { 1 \, 2 \, 3 }$], [集合$Omega$],
    [事件域], [门的所有可能的组合], [$Omega$的所有子集], [$Omega$上的一个$sigma$代数$cal(F)$],
    [概率], [汽车在某些门后面的(先验)概率], [记这些门在$Omega$中对应的子集为$A$,
    则$A$的测度为$ P \( A \) = sum_(i in A) 1/3 $], [定义在$\( Omega \, cal(F) \)$上的一个测度$P$,
    使得$P \( Omega \) = 1$],
  )]
  , kind: table
  )


= 随机变量及其分布

== 随机变量的概念

- 你在某天清理手游日常任务花了多少时间

- 电脑硬盘在使用多久之后损坏

- 计算器在计算多少次之后出错

- 降雨量

- 每天因战争死亡的人数

== 随机变量的定义

+ 设$Omega$是集合(样本空间), 而$cal(F)$是$Omega$上的一个$sigma$代数.
  那么$\( Omega \, cal(F) \)$就叫做一个#strong[可测空间];(measurable
  space), 而$cal(F)$中每一个元素就叫做一个#strong[可测集];(measurable
  set).

+ 如无特别说明, 我们总假设实数集$bb(R)$装备Borel $sigma$代数,
  它是使所有区间可测的最小的$sigma$代数, 它的元素叫做Borel可测集,
  但对于$bb(R)$我们将会直接把这类子集叫做可测集.

+ 两个可测空间之间的映射, 如果保证可测集的原象都是可测集,
  就称为#strong[可测映射];(measurable mapping).

---

+ 设$Omega$是集合(样本空间), 而$cal(F)$是$Omega$上的一个$sigma$代数.
  那么$\( Omega \, cal(F) \)$就叫做一个#strong[可测空间];(measurable
  space), 而$cal(F)$中每一个元素就叫做一个#strong[可测集];(measurable
  set).

+ 两个可测空间之间的映射, 如果保证可测集的原象都是可测集,
  就称为#strong[可测映射];(measurable mapping).

+ 设$\( Omega \, cal(F) \)$是可测空间,
  那么任何可测映射$X : Omega arrow.r bb(R)$都称为#strong[随机变量];(random
  variable).

== 随机变量的基本性质

- 因为 ${x_0}, (a,b), [a,b], [a,b), (a,b], (-infinity, a), (b, infinity)$ 等等集合都是 $RR$ 的可测集, 所以相应的集合${X=x_0}, {a<X<b}, {a <= x <= b}, {a <= x < b}, {a < x <= b}, {X<a}, {X >= b}$ 等等都是*事件*.

#pause

- 因为上述事件都可以通过
  $ {a < X <= b} = {X <= b} - {X <= a} $
  $ {X > a} = Omega - {X <= a} $
  这类操作得到, 所以只要知道形如 ${X <= a}$ 的事件的概率就可以了.

== 分布函数的定义

设$( Omega , cal(F), P )$是概率空间,
而$X : Omega arrow.r bb(R)$是随机变量, 则称函数
$ F : bb(R) arrow.r \[ 0 \, 1 \] \, quad x mapsto P \( X <= x \) $
为$X$的#strong[分布函数];(cumulative distribution function, 缩写为*CDF*),
其中$P \( X lt.eq x \)$是$P \( { s in Omega : X \( s \) lt.eq x } \)$的简写.

此时称 $X$ 服从 $F \( x \)$, 记为 $X tilde.op F \( x \)$.

== 分布函数的基本性质(其实这三个条件放一起构成充要条件)

+ *单调递增*(但不一定严格单调递增).

+ *有界*, 而且 $ F(- infinity) &:= lim_(x -> - infinity) F(x) = 0, \
  F( infinity) &:= lim_(x ->  infinity) F(x) = 1. $

+ *右连续*: 对任意 $a in RR$ 都有 $ F(a + 0) := lim_(x -> a+0) F(x) := F(a). $

== 分布列

设$X : \( Omega \, cal(F) \, P \) arrow.r bb(R)$是离散随机变量,
并且$X$的像为
$ X \( Omega \) = { x_i : i = 1 \, 2 \, dots.h.c \, n \, dots.h.c } \, $
则称数列
$ p_i colon.eq p \( x_i \) colon.eq P \( X = x_i \) \, quad i = 1 \, 2 \, dots.h.c \, n \, dots.h.c $
为$X$的#strong[分布列];(probability distribution),
记为$X tilde.op { p_i }$.

== 密度函数

如果连续随机变量$X$的分布函数是$F$,
而且存在非负可积函数$p : bb(R) arrow.r bb(R)$使得对任意$x in bb(R)$都有
$ F \( x \) = integral_(- oo)^x p \( t \) dif t \, $
我们就说 $p$ 是 $X$ 的#strong[密度函数];(probability density function). 此时:

- $F$ 连续;
- $P(X=x)=0$.
- 若 $F'(x)$ 存在, 则 $F'(x)=p(x)$.

== 小结

#figure(
  align(center)[#table(
    columns: 2,
    align: (center,center,),
    table.header([现实世界(概率统计)], [数学模型(测度论)],),
    table.hline(),
    [样本空间], [集合$Omega$],
    [随机变量], [一个可测函数$X : Omega arrow.r bb(R)$],
    [随机变量的分布函数], [$X$定义的前推测度在$(-infinity, x)$上的积分],
    [离散随机变量], [$X$的像是至多可数集],
    [离散随机变量的分布列], [一个数列],
    [离散随机变量的分布函数], [数列的部分和],
    [连续随机变量], [$X$的像是不可数集, 通常是区间],
    [连续随机变量的密度], [一个可积函数],
    [连续随机变量的分布函数], [可积函数的积分],
  )]
  , kind: table
  )

  == 三门问题

  #figure(
  align(center)[#table(
    columns: 4,
    align: (center,center,center,center,),
    table.header([概率统计], [现实世界], [数学模型], [测度论],),
    table.hline(),
    [样本空间], [三扇门], [$Omega = { 1 \, 2 \, 3 }$], [集合$Omega$],
    [随机变量], [门后是汽车或山羊,
    恰有一扇门的后面是汽车], [$X : Omega arrow.r bb(R)$,
    像为${ 0 \, 1 }$, 约定$0$表示山羊, $1$表示汽车,
    那么恰有一个$i in Omega$满足$X \( i \) = 1$], [一个可测函数$X : Omega arrow.r bb(R)$],
  )]
  , kind: table
  )

  ---

  #figure(
  align(center)[#table(
    columns: 4,
    align: (center,center,center,center,),
    table.header([概率统计], [现实世界], [数学模型], [测度论],),
    table.hline(),
    [离散随机变量], [因为门后奖品的类型有限], [因为$X$的像是${ 0 \, 1 }$], [$X$的像是至多可数集],
    [离散随机变量的分布列], [每扇门的后面是汽车的概率是$1 \/ 3$], [$p_i = 1 \/ 3$,
    其中$i = 1 \, 2 \, 3$], [一个数列],
    [离散随机变量的分布函数], [], [$ F \( x \) &= sum_(X \( i \) lt.eq x) p_i \
    &=sum_(X \( i \) lt.eq x) 1/3 $], [数列的部分和],
  )]
  , kind: table
  )